समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल,परिभाषा और गुण | Right Angle Triangle in Hindi

इस पोस्ट में समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालना, समकोण त्रिभुज का परिमाप निकालना, समकोण त्रिभुज का परिभाषा, समकोण त्रिभुज का गुण और समकोण त्रिभुज के कुछ उदाहरण के बारे में आपको जानकारी मिलेगी।

समकोण त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी एक कोण हमेशा 90 डिग्री होता है । इस 90 डिग्री कोण के कारण ही इसे समकोण त्रिभुज कहा जाता है । किसी भी त्रिभुज में 3 कोण होते हैं और उसके तीनो कोण मिलकर 180 डिग्री का कोण बनाते हैं
इसको हम इस प्रकार लिख सकते हैं ।

∠A+∠B+∠+C=180º

समकोण त्रिभुज | samkon tribhuj

उदाहरण: यदि त्रिभुज का एक कोण अगर 90 डिग्री का है दूसरा कोड 50 डिग्री का है तो तीसरे कोण का मान ज्ञात कीजिए।

हल: दिया गया हैं,

∠A+∠B+∠C=180º

90º+50º+∠C=180º

∠C=180º-140º

अतः त्रिभुज का तीसरा कोण 40 डिग्री का होगा।

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समकोण त्रिभुज क्या है? (samkon tribhuj kya hai)

त्रिभुज 3 सीधी भुजाओं से घिरी हुई एक आकृति है। तीन भुजाओं के कारण यह आकृति 3 कोण का निर्माण करती है इसलिए हम इसे त्रिभुज कहते हैं । जिस त्रिभुज में एक कोण 90 डिग्री का होता है उसे समकोण त्रिभुज कहते हैं।

त्रिभुज को एक नियमित बहुभुज भी कहा जा सकता है। त्रिभुज की यह तीनों भुजाएं मिलकर हमेशा 180 डिग्री का कोण बनाती है। और हमेशा दो कोण का मान तीसरे कोण के मान से अधिक होता है। यह त्रिभुज का एक अनोखा गुण है यह नियम सभी प्रकार के त्रिभुजों के लिए लागू होता है।

 

समकोण त्रिभुजों के प्रकार | samkon tribhuj ke prakar)

जब कोई त्रिभुज के किन्ही दो भुजाओं के बीच का कोण 90 डिग्री से कम होता है तो उसे न्यूनकोण त्रिभुज कहा जाता है

जब यह कोण 90 डिग्री का होता है तो उसे समकोण त्रिभुज कहा जाता है

और जब यह 90 डिग्री से अधिक होता है तो इसे अधिक कोण त्रिभुज कहा जाता है।

विषमकोण समकोण त्रिभुज

विषमबाहु समकोण त्रिभुज

विषमकोण समकोण त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी तीनों भुजाएं असमान होती हैं।  यानी कि तीनो भुजाओं की लंबाई भिन्न –भिन्न होती है। तथा तीनों कोण भी असमान होते हैं। विषमकोण त्रिभुज भी एक समकोण त्रिभुज हो सकता है यहां ध्यान दे कि समकोण त्रिभुज और समबाहु त्रिभुज में अंतर होता है।

उपरोक्त स्थित चित्र में आप देख सकते हैं की तीनो भुजा की लंबाई असामान है |
जैसे कि उपरोक्त चित्र में एक भुजा की लंबाई a है दूसरे की लंबाई b है तथा तीसरे की लंबाई c है।
तथा तीनों कोण भी असमान है।
जैसे कि उपरोक्त चित्र में कोण ∠A 90 डिग्री है कोण ∠ B 55 डिग्री है तथा ∠C 45 डिग्री है।

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में दो भुजाओं की लंबाई बराबर होती है एवं दो कोण आपस में समान होती है और तीसरी भुजा की लंबाई भिन्न होती है। समद्विबाहु त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज हो सकता है।

ऊपर दिए गए चित्र में भुजा AB की दूरी a है और भुजा CA की दूरी भी a है और कोण ∠B तथा कोण ∠C 45 डिग्री के हैं।
इसलिए यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।

समबाहु त्रिभुज 

ध्यान दे: समबाहु त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं होता है।

समबाहु त्रिभुज में सारी भुजाओं की लंबाई एक समान होती है यानी कि कोई भी भूजा किसी से छोटी या बड़ी नहीं होती है । अगर एक भुजा की लंबाई आपको पता है तो उसको 3 से गुणा करने पर सारी भुजाओं की लंबाई निकल आती है।
अतः समबाहु त्रिभुज का परिमाप 3 × भुजा होता है।

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समकोण त्रिभुज का परिभाषा (Samkon Tribhuj ka Paribhasha)

समकोण त्रिभुज में एक 90 डिग्री का कोण होता है। यह कोण लम्ब और आधार के बीच का कोण होता है। इस प्रकार त्रिभुज के तीनो भुजाओं में एक भुजा लम्ब दुसरा आधार और तीसरा कर्ण होता हैं। कर्ण हमेशा बाकी की भुजाओं से बड़ा होता है
इन तीनो भुजाओं का संबंध पाइथागोरस प्रमेय के द्वारा समझा जा सकता है एक समकोण त्रिभुज में,

कर्ण2 = लंब 2+ आधार 2

उदाहरण: यदि किसी त्रिभुज का आधार 4 सेंटीमीटर है और उसका लम्ब 3 सेंटीमीटर है तो उसका कर्ण क्या होगा।

हल: दिया गया हैं,

कर्ण = ?

आधार = 4 सेमी

लम्ब= 3 सेमी

पाइथागोरस प्रमेय से ,

कर्ण2 = लंब 2+ आधार 2

कर्ण = √ (लम्ब2 + आधार)

कर्ण = √ (42 + 3)

कर्ण = √ (16+ 9 )

कर्ण = √ 25

कर्ण = 5

अतः कर्ण 5 सेंटीमीटर होगा।

 

त्रिभुज की परिमाप क्या होता है? (Tribhuj ka parimap kya hota hai)

समकोण त्रिभुज का परिमाप इसके तीनो भुजाओं के योग के बराबर होता है।

समकोण त्रिभुज का परिमाप = आधार + लंब + कर्ण

यदि एक भुजा 5 सेंटीमीटर है दूसरी भुजा 7 सेंटीमीटर है । तीसरी भुजा 4 सेंटीमीटर है तो परिमाप=5+7+4 सेंटीमीटर ।
इस प्रकार इसका परिमाप 16 सेंटीमीटर होगा ।

उदाहरण: यदि आधार = 6 सेमी, लंब= 8 सेमी और कर्ण = 16 सेमी। समकोण त्रिभुज का अर्धपरिमाप क्या है?

हल: दिया गया हैं,

कर्ण = 16 सेमी

आधार = 6 सेमी

लम्ब= 8 सेमी

समकोण त्रिभुज का परिमाप = आधार + लंब + कर्ण

परिमाप = 6 + 8 + 16 = 30 सेमी

समकोण त्रिभुज का अर्धपरिमाप (samkon tribhuj ka ardh parimap)

अर्धपरिमाप कुल परिमाप का आधा होता है तो अगर त्रिभुज का परिमाप 16 सेंटीमीटर है तो इसका अर्धपरिमाप (परिमाप का आधा) मतलब 8 सेंटीमीटर का होगा ।

उदाहरण: यदि आधार = 4 सेमी, लंब= 6 सेमी और कर्ण = 10 सेमी। समकोण त्रिभुज का अर्धपरिमाप क्या है?

हल: दिया गया हैं,

कर्ण = 10 सेमी

आधार = 4 सेमी

लम्ब= 6 सेमी

समकोण त्रिभुज का परिमाप = आधार + लंब + कर्ण

परिमाप = 4 + 6 + 10 = 20 सेमी

अर्धपरिमाप = परिमाप/2

अर्धपरिमाप = 20/2 = 10 सेमी

 

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल (samkon tribhuj ka kshetrafal)

त्रिभुज का क्षेत्रफल गणना हम दो विधियों से कर सकते हैं ।
पहले विधि में हम आधार और ऊंचाई को जोड़ देते हैं और फिर उसका आधा कर देते हैं जिससे हमें त्रिभुज का क्षेत्रफल मिल जाता है ।
जिसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं–

क्षेत्रफल=\ \frac{1}{2}( आधार\times ऊंचाई)

उदाहरण: यदि एक त्रिभुज का आधार 100 सेंटीमीटर है और इसकी ऊंचाई 150 सेंटीमीटर है तो उसका क्षेत्रफल क्या होगा।

हल: दिया गया हैं,

आधार = 100 सेमी

ऊंचाई  = 150 सेमी

क्षेत्रफल=\ \frac{1}{2}( आधार\times ऊंचाई)\\ क्षेत्रफल=\ \frac{1}{2}( 100\times 150)\\ क्षेत्रफल=\ \frac{1}{2}( 15000)

क्षेत्रफल = 12500

त्रिभुज का क्षेत्रफल 12500 वर्ग सेंटीमीटर होगा।

दूसरा विधि कुछ इस प्रकार है–

क्षेत्रफल =√ [ s(s – a)(s – b)(s – c) ]

जहां s अर्धपरिमाप है और a, b, c त्रिभुज की तीनो भुजाओं की लंबाई है।

उदाहरण– यदि त्रिभुज का परिमाप 40 सेंटीमीटर है और एक भुजा की लंबाई 5 सेंटीमीटर है दूसरी भुजा की लंबाई 10 सेंटीमीटर है तथा तीसरी भुजा की लंबाई 15 सेंटीमीटर है तो उसका क्षेत्रफल क्या होगा।

हल: दिया गया हैं-

a = 5 सेमी

b = 10 सेमी

c = 15 सेमी

अर्धपरिमाप = परिमाप/2

अर्धपरिमाप = 40/2

अर्धपरिमाप (s) = 20 सेमी

क्षेत्रफल =√ [ s(s – a)(s – b)(s – c) ]

क्षेत्रफल =√ [ 20(20 – 5)(20 – 10)(20 – 15) ]

क्षेत्रफल =√ [ 20(15×10×5)]

क्षेत्रफल =√ [ 20(15×10×5)]

क्षेत्रफल =√ [ 20×750]

क्षेत्रफल =√ 15000

क्षेत्रफल =122.47

त्रिभुज का क्षेत्रफल 122.47 वर्ग सेंटीमीटर होगा।

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समकोण त्रिभुज का गुण (samkon tribhuj ka gun)

समकोण त्रिभुज के निम्नलिखित गुण हैं।

समकोण त्रिभुज में कर्ण हमेशा लंब और आधार से बड़ा होता है।
समकोण त्रिभुज का एक कोण 90 डिग्री का होता है इसलिए हम इसे समकोण त्रिभुज कहते हैं।
त्रिभुज के सभी कोण का योग हमेशा 180 डिग्री के होता हैं।
यदि हम समकोण त्रिभुज से कर्ण पर एक लंब आते हैं तो हमें समरूप त्रिभुज प्राप्त होता है।
समकोण त्रिभुज का परिमाप उसके तीन भुजाओं का योग होता है।
अर्धपरिमाप परिमाप का आधा होता हैं।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल इन दोनो सूत्रों के मदद से निकाला जाता हैं।

(A).क्षेत्रफल=\ \frac{1}{2}( आधार\times ऊंचाई)

(B).क्षेत्रफल =√ [ s(s – a)(s – b)(s – c) ]

जहां s अर्धपरिमाप है और a, b, c त्रिभुज की तीनो भुजाओं की लंबाई है।

समकोण त्रिभुज का उदाहरण

उदाहरण 1.– एक समकोण त्रिभुज में, यदि लम्ब= 10 सेमी और आधार = 6 सेमी, तो कर्ण का मान क्या है?

हल: दिया गया हैं,

कर्ण =

आधार = 6 सेमी

लम्ब= 10 सेमी

पाइथागोरस प्रमेय से हम जानते हैं कि,

कर्ण = √ (लम्ब2 + आधार)

 = √(102 + 62)

= √(100+ 36)

= √136

= 11.66 cm

अत: समकोण त्रिभुज का कर्ण 11.66 सेमी है।

उदाहरण 2.– एक समकोण त्रिभुज में, यदि कर्ण = 10 सेमी और आधार = 8 सेमी, तो लम्ब का मान क्या है?

हल: दिया गया हैं,

कर्ण = 10 सेमी

आधार = 6 सेमी

लम्ब= ?

पाइथागोरस प्रमेय से हम जानते हैं कि,

कर्ण2 = लम्ब2 + आधार

लम्ब2 =कर्ण2 – आधार

लम्ब=√(कर्ण2 – आधार2  )

= √(102 + 82)

= √(100 – 64)

= √36

= 6 cm

अत: समकोण त्रिभुज का लम्ब 6 सेमी है।

उदाहरण 3.– यदि त्रिभुज का परिमाप 20 सेंटीमीटर है और एक भुजा की लंबाई 3 सेंटीमीटर है दूसरी भुजा की लंबाई 4 सेंटीमीटर है तथा तीसरी भुजा की लंबाई 5सेंटीमीटर है तो उसका क्षेत्रफल क्या होगा।

हल: दिया गया हैं-

a = 3 सेमी

b = 4सेमी

c = 5 सेमी

अर्धपरिमाप = परिमाप/2

अर्धपरिमाप = 20/2

अर्धपरिमाप (s) = 10 सेमी

क्षेत्रफल =√ [ s(s – a)(s – b)(s – c) ]

क्षेत्रफल =√ [ 10(10 – 3)(10 – 4)(10 – 5) ]

क्षेत्रफल =√ [ 10(7×6×5)]

क्षेत्रफल =√ [ 10×210]

क्षेत्रफल =√ 2100

क्षेत्रफल =45.82

त्रिभुज का क्षेत्रफल 45.82 वर्ग सेंटीमीटर होगा।

उदाहरण 4. यदि त्रिभुज का एक कोण अगर 35 डिग्री का है दूसरा कोड 45 डिग्री का है तो तीसरे कोण का मान ज्ञात कीजिए। तथा ज्ञात कीजिए यह किस प्रकार का त्रिभुज है?

हल: दिया गया हैं,

∠A+∠B+∠C=180º

35º+45º+∠C=180º

∠C=180º-90º

∠C=90º

अतः त्रिभुज के कोण का मान 90 डिग्री है इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।

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